Poisson Distribution
개념
정해진 시간이나 공간 안에서 어떤 사건이 몇 번 발생할 것인지를 예측할 때 사용하는 이산 확률 분포다. 주로 횟수는 셀 수 있지만 전체 시도 횟수를 알기 어렵거나, “드물게 일어나는 사건”의 발생 횟수를 모델링할 때 자주 쓰인다. 평균적으로 몇 번 발생하는지(평균 발생률)를 알고 있을 때 사용한다.
사용 예시
- 고객센터 전화량: “어제 오늘 시간당 평균 5번의 전화가 걸려왔다”면, 오늘 저녁 특정 1시간 동안 정확히 2번의 전화가 걸려올 확률은 얼마일까?
- 서버 에러: “우리 웹서버는 일주일에 평균 2번의 빌드 에러가 난다”면, 이번 주에 에러가 단 한 건도 나지 않을 확률은 얼마일까?
수학 공식
푸아송 분포는 평균 발생률($\lambda$, 람다) 의해서 형태가 결정된다. 어떤 사건이 정확히 $k$번 일어날 확률 $P(X=k)$는 다음과 같은 공식으로 계산된다.
\[P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k! }\]- $\lambda$ (람다): 정해진 구간 내에서 평균적으로 사건이 발생하는 횟수
- $k$: 우리가 알고자 하는 실제 발생 횟수 ($0, 1, 2, 3, \dots$)
- $e$: 자연 상수 (약 $2.71828$)
- $k!$: 팩토리얼 ($k \times (k-1) \times \dots \times 1$)
실제 계산 예시
상황 가정: 개인 프로젝트 웹사이트를 운영하며 깃허브 액션(GitHub Actions)을 통해 자동 빌드 및 배포 파이프라인을 구축해 두었다. 과거 로그를 분석해 보니, 이 파이프라인에서는 1주일에 평균 2번 빌드 에러가 발생한다. 여기서 기준값인 평균 발생률 $\lambda$는 2가 된다.
\[P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k! }\]1. 이번 주에는 에러가 나지 않을 확률 ($k = 0$)
공식에 $\lambda = 2$와 발생 횟수 $k = 0$을 대입한다.
\[P(X = 0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!}\] \[P(X = 0) = \frac{0.1353 \cdot 1}{1} = 0.1353\]결과: 이번 주에 에러가 나지 않을 확률은 약 13.53% 이다.
2. 이번 주에 에러가 3번 나올 확률 ($k = 3$)
이번에는 $k = 3$을 대입한다. ($3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$)
\[P(X = 3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!}\] \[P(X = 3) = \frac{0.1353 \cdot 8}{6}\] \[P(X = 3) \approx \frac{1.0824}{6} \approx 0.1804\]결과: 에러가 3번 나올 확률은 약 18.04% 이다.
푸아송 분포의 특징
- 평균과 분산이 같다: 푸아송 분포는 평균($\mu$)과 분산($\sigma^2$)이 모두 $\lambda$로 동일하다. 평균 발생률이 커질수록 데이터의 분산도 함께 커진다.
- 사건의 독립성: 과거에 사건이 발생했다고 해서 다음 사건에 영향을 주지 않아야 한다. (각 사건은 독립적)
- 일정성: 관측하는 시간이나 공간 전체에 걸쳐 평균 발생률($\lambda$)은 일정해야 한다.
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