Binomial Distribution

개념

성공 또는 실패, 단 두 가지 결과만 나오는 시행을 독립적으로 여러 번 반복했을 때, 정확히 몇 번 성공할 것인가”를 예측하는 이산 확률 분포이다. 가장 대표적인 예시가 바로 “동전을 10번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수이다.

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Binomial Distribution 성립 조건

어떤 사건에 이항 분포를 적용하려면 다음 네 가지 조건을 반드시 만족해야 한다.

1. 시행 횟수가 고정됨: 전체 시도 횟수가 사전에 정확히 정해져 있어야 한다.
2. 이분법적 결과: 각 시도의 결과는 ‘성공(Success)’ 또는 ‘실패(Failure)’ 둘 중 하나로만 나뉘어야 한다.
3. 독립성: 첫 번째 시도의 결과가 두 번째 시도의 결과에 영향을 주지 않아야 한다.
4. 일정한 성공 확률: 모든 시도에서 성공할 확률은 똑같아야 한다.

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수식

전체 $n$번의 시도 중에서 성공 확률이 $p$일 때, 정확히 $k$번 성공할 확률 $P(X=k)$는 다음과 같다.

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

• $n$: 전체 시도 횟수
• $k$: 우리가 알고자 하는 성공 횟수 ($0, 1, 2, \dots, n$)
• $p$: 한 번의 시도에서 성공할 확률 (실패할 확률은 $1-p$)
• $\binom{n}{k}$ (조합, Combination): $n$번의 시도 중 성공하는 $k$번의 순서가 뒤섞이는 경우의 수를 구하는 공식 ($\frac{n!}{k!(n-k)!}$)

위의 수식을 말로 풀어서 설명을 하면,

성공할 확률에 ($p^k$) 실패할 확률을 곱한 뒤에 ($(1-p)^{n-k}$) 그 일들이 일어날 수 있는 순서의 가짓수를 곱해준다 ($\binom{n}{k}$) 로 설명이 가능하다. **