자연상수
탄생 배경
자연상수 $e$의 개념은 은행의 복리 이자를 계산하는 과정에서 처음 등장했다.
예시로 원금 1000원에 대해 연이율 100%를 준다고 가정해 보자. 이자를 나누어 받는 횟수($n$)에 따라 1년 후 받게 될 총 금액은 다음과 같이 변한다.
\[1,000 \times \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\]각각의 숫자의 의미
- 1, 000: 원금(처음에 은행에 맡긴 돈)
- 1: 내 원금을 그대로 돌려받는 몫
- $n$: 이자를 나누어 받는 횟수.
- $\frac{1}{n}$: 추가되는 1회당 이자율
위의 수식을 분배법칙을 이용하여 계산을 하면 이해하기 쉬울 것이다. 만약 n이 1이라면, $1000 \times 1$(원금) + $1000 \times\frac{1}{n}$(이자) = 최종 금액이 된다.
이자를 나누어 받는 횟수를 무한히 늘리는 경우
원금이 1원인 경우 이자를 나누어 받는 횟수에 따라 1년 후 받게 될 총 금액은 다음과 같이 변한다.
- 1년에 1번 통째로 받을 때: $1\times (1 + 1)^1 = 2$
- 6개월마다 반씩 나눠 받을 때: $1\times (1 + \frac{1}{2})^2 = 2.25$
- 매월 나눠 받을 때: $1\times (1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2.613$
- 매일 나눠 받을 때: $1\times (1 + \frac{1}{365})^{365} \approx 2.714$
결국 최종 값은 2.718… 로 수렴을 하게 된다. 그리고 이를 자연상수 $e$라고 한다.
만약 이자율과 n이 각각 다른 값이라면?(이자율이 100%가 아니라면?)
은행의 실제 연이율을 $r$이라고 하자. 그리고 이 연이율을 1년에 $n$번 나누어서 지급한다고 가정해 보자.
- 1회당 이자율: 연이율 $r$을 $n$번으로 나누었으므로 $\frac{r}{n}$이 된다.
- 지급 횟수: $n$번
이를 원래 수식에 대입하면 아래와 같은 공식이 나온다.
\[\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n = e^r\]결국 이자율이 100%가 아니라면, 복리 횟수를 무한히 쪼갰을 때의 결과값은 결코 2.718…($e$)가 나오지 않는다. $e^r$(2.718…의 $r$제곱)로 수렴을 하게 된다.
이자율 100%일때의 값을 $e$로 정한 이유
길이를 잴 때 ‘1미터(m)’를 기본 단위로 삼고, 무게를 잴 때 ‘1킬로그램(kg)’을 기준으로 삼는 것과 같은 이치이다.
표준 기준점(e)을 하나 만들어두면, 이자율이 얼마든 상관없이 기본 단위의 지수 자리에 숫자만 바꿔 계산을 끝낼 수 있기 때문이다. 즉, 2.718($e$)은 모든 변화를 측정하기 위해 수학자들이 만들어낸 표준이라고 생각하면 된다.
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