자연로그

개념

자연로그 ln은 밑이 자연상수 $e$인 로그를 뜻한다.

수학적으로는 $\log_e(x)$로 표기를 하지만, $\ln(x)$로도 줄여서 사용한다.

자연로그는 무리수 $e$를 밑으로 하는 로그이므로, 로그의 성질이 그대로 성립한다.

• $\ln(1) = 0$
• $\ln(e) = 1$
• $\ln(e^x) = x$
• $e^{\ln(x)} = x$

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자연상수와의 관계

자연로그는 지수함수 $y=e^x$와 완벽한 역함수 관계를 가진다. 아래의 그래프에서 볼 수 있듯, 두 그래프는 $y=x$직선을 기준으로 대칭을 이룬다.

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자연상수와의 역함수 관계 증명

수학에서 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 서로 역함수 관계에 있다는 것을 증명하려면, 한 함수에 다른 함수를 집어넣었을 때 원래의 값인 $x$가 그대로 튀어나온다는 것을 보여주면 된다.

즉, 다음 두 가지 수식이 성립함을 증명하면 된다.

\[f(g(x)) = x\] \[g(f(x)) = x\]

$e^{\ln x} = x$ 증명

로그의 정의는 $a^b = c \iff \log_a c = b$ 이다.

1. 계산하기 쉽게 하기 위해 ln $x$를 $y$로 치환한다.

\[y = \ln x\]

1. ln $x$를 로그 형태로 변환 후 로그의 정의를 이용하여 형태를 바꾼다.

\[y = \ln x = \log_ex\] \[e^y = x\]

1. 원래 값 $\ln x$를 $y$에 대입한다.

\[e^{\ln x} = x\]

$\ln(e^x) = x$ 증명

반대방향으로 대입을 해도 $x$가 나오는지 확인한다.

1. 치환한다. 이번에는 $e^x$를 $y$라고 둔다.

\[y = e^x\]

1. 지수를 로그 형태로 변환한다.

\[\ln y =\log_e y = x\]

1. $y$값에 원래 값 $e^x$를 대입한다.

\[\ln(e^x) = x\]